Niezwykły mechanizm
Wyobraź sobie przekładnię, w której jedno koło zębate obraca się z prędkością jednego obrotu na sekundę. Drugie obraca się wtedy niewyobrażalnie wolno. Dodaj do tego kolejne stopnie przekładni, a otrzymasz mechanizm, który pozwala w bardzo obrazowy sposób pokazać, czym są liczby tak wielkie, że trudno je sobie wyobrazić.
Jednym z najbardziej fascynujących przykładów jest przekładnia googola – hipotetyczny mechanizm, którego przełożenie wynosi 10100, czyli dokładnie tyle, ile wynosi googol.
To liczba składająca się z jedynki i stu zer. W praktyce jest tak ogromna, że nawet liczba atomów w obserwowalnym Wszechświecie jest od niej niewyobrażalnie mniejsza.
Ale co właściwie oznaczałaby przekładnia o takim przełożeniu?
Czym jest przekładnia?
Zanim przejdziemy do googola, warto przypomnieć sobie, jak działa zwykła przekładnia.
Przekładnia pozwala przekazywać ruch i zmieniać między innymi prędkość obrotową oraz moment obrotowy. Najprostszym przykładem są dwa koła zębate.
Jeżeli małe koło napędza duże, duże koło wykonuje mniej obrotów. W zamian może uzyskać większy moment obrotowy.
Jeżeli natomiast duże koło napędza małe, małe koło obraca się szybciej.
Właśnie poprzez łączenie kolejnych kół zębatych można uzyskać bardzo duże przełożenia.
I tutaj zaczyna się robić naprawdę interesująco.
Przełożenie 10100
Załóżmy, że chcemy skonstruować przekładnię, która potrzebuje googola obrotów wejściowych, aby wykonać jeden obrót na wyjściu.
Jeżeli pierwsze koło obracałoby się raz na sekundę, jeden obrót ostatniego koła nastąpiłby dopiero po czasie:10100 sekund.
To więcej niż wiek Wszechświata w sposób, którego praktycznie nie da się intuicyjnie wyobrazić.
Wiek Wszechświata szacuje się na około 13,8 miliarda lat. Tymczasem 10100 sekund odpowiada około 3,17 × 1092 lat.
To liczba około 80 rzędów wielkości większa od wieku Wszechświata.
Innymi słowy, gdyby taka przekładnia zaczęła działać w momencie powstania Wszechświata, jej ostatnie koło nadal nie wykonałoby pełnego obrotu.
Czy można zbudować taką przekładnię?
Matematycznie nie ma problemu z opisaniem takiego mechanizmu.
Przekładnie można łączyć w kolejne stopnie. Jeżeli jeden stopień daje przełożenie 10:1, a następny również 10:1, całkowite przełożenie wynosi:
10 × 10 = 100
Dziesięć takich stopni daje:
1010
Sto stopni:10100
Na papierze wygląda to więc zaskakująco prosto.
Problem pojawia się wtedy, gdy próbujemy potraktować taki mechanizm jako rzeczywiste urządzenie.
Problem zaczyna się od rozmiaru
Koła zębate nie mogą być idealnie małe.
Każde musi mieć określoną liczbę zębów, odpowiednią wytrzymałość i odpowiednie odstępy między nimi. Do tego dochodzą osie, łożyska, obudowy i mechanizmy przenoszące napęd.
Nawet stosunkowo niewielkie przełożenia wymagają kilku stopni przekładni.
Przy 10100 sytuacja staje się absurdalna.
Gdyby każdy stopień dawał przełożenie 10:1, potrzebowalibyśmy 100 kolejnych stopni.
A każdy z nich musiałby składać się przynajmniej z odpowiednio dobranych kół zębatych.
Problemem nie jest więc sama matematyka. Problemem jest fizyczna realizacja.
A gdyby użyć ogromnych kół?
Można oczywiście spróbować obejść problem, budując koła o bardzo dużej różnicy rozmiarów.
Załóżmy, że jedno koło ma 10 zębów, a drugie 100.
Otrzymujemy przełożenie 10:1.
Aby uzyskać jeszcze większe przełożenie, można zastosować koło mające 1000 zębów i tak dalej.
Jednak po pewnym czasie rozmiary zaczynają rosnąć do niewyobrażalnych wartości.
W dodatku duże koło musi zachować odpowiednią dokładność wykonania. Przy tak ekstremalnych przełożeniach nawet minimalne błędy konstrukcyjne stają się znaczące.
Jeszcze większym problemem jest tarcie
Załóżmy, że jakimś cudem udało nam się zbudować przekładnię o przełożeniu 10100.
Czy wystarczyłoby wprawić pierwsze koło w ruch?
Nie.
Każde koło generowałoby straty energii. Pojawiłyby się tarcie w zębach, łożyskach i osiach, a także opory wynikające z deformacji materiałów.
W rzeczywistym mechanizmie każde kolejne przełożenie ma sprawność mniejszą od 100 procent.
Jeżeli mamy wiele stopni przekładni, sprawność całego układu jest iloczynem sprawności poszczególnych stopni.
Przykładowo, jeśli każdy stopień ma sprawność 90 proc., to po 100 stopniach całkowita sprawność wynosi:
0,9100
czyli zaledwie około 0,0027 proc.
Przy rzeczywistych przekładniach sytuacja może być oczywiście inna, ale przykład dobrze pokazuje problem: wielokrotne powtarzanie nawet niewielkich strat prowadzi do ogromnych strat całkowitych.
Co właściwie daje tak ogromne przełożenie?
Tutaj pojawia się najciekawsza część.
Przekładnia nie tworzy energii.
Jeżeli zmniejszamy prędkość obrotową, możemy zwiększyć moment obrotowy. Jeżeli chcemy uzyskać ogromny moment na wyjściu, musimy dostarczyć odpowiednią energię na wejściu.
Przekładnia googola nie byłaby więc magiczną maszyną produkującą potężną siłę.
Byłaby przede wszystkim ekstremalnym przykładem zasady zamiany prędkości na moment obrotowy.
Jeżeli ostatnie koło ma wykonać jeden obrót przez 10100 sekund, musi poruszać się niewiarygodnie wolno.
Najdziwniejsza część: ostatnie koło praktycznie by się nie poruszało
Załóżmy ponownie, że pierwsze koło wykonuje jeden obrót na sekundę.
Ostatnie koło przekładni o przełożeniu googola wykonywałoby:10-100obrotu na sekundę.
To tak mała wartość, że w codziennym doświadczeniu moglibyśmy uznać je za całkowicie nieruchome.
Ale matematycznie nadal wykonywałoby ruch.
Po odpowiednio długim czasie przesunęłoby się o mikroskopijny ułamek obrotu.
To świetny przykład różnicy między „bardzo małe” a „równe zero”.
Googol to nie nieskończoność
Warto tutaj zatrzymać się przy samej liczbie.
Googol to: 10100
czyli:
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
To ogromna liczba, ale nadal jest skończona.
To ważne, ponieważ w przypadku przekładni łatwo pomylić ekstremalnie duże wartości z nieskończonością.
Przekładnia googola miałaby po prostu bardzo duże, ale określone przełożenie.
Co ciekawe, googol jest większy niż liczby potrzebne w wielu fizycznych opisach
Liczby tego rodzaju szybko przestają mieć intuicyjne znaczenie.
Nie oznacza to jednak, że są bezużyteczne.
W matematyce ogromne liczby pojawiają się między innymi w teorii liczb, kombinatoryce i analizie algorytmów.
Googol jest również interesujący kulturowo. Nazwa firmy Google została zainspirowana właśnie słowem „googol”, choć nazwa firmy powstała w wyniku innej pisowni.
W przypadku przekładni googola nazwa pełni więc przede wszystkim funkcję ilustracyjną: pozwala zamienić abstrakcyjnie ogromną liczbę na coś, co możemy sobie wyobrazić jako fizyczny mechanizm.
A co z przekładniami planetarnymi?
Istnieją sposoby konstruowania bardzo dużych przełożeń bez budowania setek klasycznych par kół zębatych.
Przykładem są przekładnie planetarne.
W takim układzie kilka elementów – między innymi koło centralne, koła planetarne i koło pierścieniowe – współpracuje ze sobą.
Przekładnie planetarne są stosowane między innymi w maszynach przemysłowych, automatyce i pojazdach.
Można również budować wielostopniowe przekładnie planetarne, osiągając bardzo duże przełożenia w stosunkowo zwartej konstrukcji.
Ale nawet takie rozwiązania nie zmieniają podstawowego problemu.
10100 jest po prostu niewyobrażalnie dużą wartością.
Przekładnia googola jako eksperyment myślowy
Najciekawiej potraktować więc przekładnię googola nie jako urządzenie, które ktoś rzeczywiście powinien zbudować, lecz jako eksperyment myślowy.
Pozwala ona połączyć matematykę z fizyką.
Z jednej strony mamy prostą zasadę:
jedno przełożenie × drugie przełożenie = całkowite przełożenie.
Z drugiej strony możemy zobaczyć, jak szybko konsekwencje takiego mnożenia wymykają się ludzkiej intuicji.
Dziesięć razy dziesięć daje sto.
Dziesięć kolejnych mnożeń przez dziesięć daje miliard.
Sto takich mnożeń daje googol.
Matematyka wykonuje dokładnie tę samą operację za każdym razem. To człowiek przestaje być w stanie wyobrazić sobie rezultat.
Mechanizm, który pokazuje granice intuicji
Przekładnia googola jest fascynująca właśnie dlatego, że nie potrzebujemy budować jej w rzeczywistości.
Wystarczy wyobrazić sobie mechanizm, w którym każdy kolejny stopień spowalnia obrót.
Po kilku etapach ruch staje się powolny.
Po kilkunastu – ekstremalnie powolny.
Po stu – otrzymujemy przełożenie 10100, a ostatnie koło potrzebowałoby niewyobrażalnie długiego czasu na wykonanie pełnego obrotu.
To pokazuje coś ważnego o ogromnych liczbach: matematyka potrafi opisywać wartości, dla których fizyczna intuicja człowieka całkowicie zawodzi.
I właśnie dlatego przekładnia googola jest ciekawym połączeniem mechaniki i matematyki. Zwykłe koła zębate stają się tutaj narzędziem do pokazania jednej z największych liczb, jakie można zapisać w stosunkowo prosty sposób.
Nie potrzeba do tego superkomputera ani futurystycznej technologii. Wystarczy kilka kół zębatych, zasada przełożenia i liczba, która przypomina, jak ogromny potrafi być świat matematyki.